Question

11．二元二次方程组$\left\{\begin{array}{l}x=n（y+2）\\{x^2}+4{y^2}=4t\end{array}\right.$有两个实数解$\left\{\begin{array}{l}x={x_1}\\ y={y_1}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}x={x_2}\\ y={y_2}\end{array}\right.$，其中y₁=2，且$\frac{y_1}{x_1}+\frac{{2{y_2}}}{x_2}=\frac{4}{n}$，求常数n，t的值．

Answer 1

分析 将y₁=2，y₁=2，代入原方程组可以得到x与n的关系，然后代入$\frac{y_1}{x_1}+\frac{{2{y_2}}}{x_2}=\frac{4}{n}$，可以求得y₂的值，再将方程组$\left\{\begin{array}{l}x=n（y+2）\\{x^2}+4{y^2}=4t\end{array}\right.$中的x消去即可得到关于y的一元二次方程，然后根据韦达定理即可求得n和t的值．

解答 解：∵y₁=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4n}\\{{{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=4t}\end{array}\right.$，
将x₁=4n，y₁=2代入$\frac{y_1}{x_1}+\frac{{2{y_2}}}{x_2}=\frac{4}{n}$，得
$\frac{2}{4n}+\frac{2{y}_{2}}{n（{y}_{2}+2）}=\frac{4}{n}$
化简，得
$\frac{1}{2}+\frac{2{y}_{2}}{{y}_{2}+2}=4$，
解得${y}_{2}=-\frac{14}{3}$
由方程组$\left\{\begin{array}{l}x=n（y+2）\\{x^2}+4{y^2}=4t\end{array}\right.$，消去x，得
（n²+4）y²+4n²y+4（n²-t）=0，
由韦达定理，得
$\left\{\begin{array}{l}2-\frac{14}{3}=-\frac{{4{n^2}}}{{{n^2}+4}}\\ 2•（-\frac{14}{3}）=\frac{{4{n^2}-4t}}{{{n^2}+4}}\end{array}\right.$，
解得$n=±2\sqrt{2}，t=36$．

点评 本题考查高次方程，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．