Question

1．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，若AB=2，点E是BC边上一动点，∠EAF=60°，AF交CD于点F
（1）探究线段AE、AF的数量关系，并写出解答过程；
（2）当点E运动到什么位置时，△AEF的面积最小，最小面积是多少？

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得△AEF是等边三角形即可；
（3）由垂线段最短可知：当AE⊥BC时，AE有最小值，然后由特殊锐角三角函数值可求得AE的长，即可得出结果．

解答 解：（1）AE=AF，理由如下：
连接AC．如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°．
∴∠B=∠ACF=60°．
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD．
∴∠AEB=∠AFC．
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACF}&{\;}\\{∠AEB=∠AFC}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（AAS）．
∴AE=AF．
（3）由垂线段最短可知：当AE⊥BC时，AE有最小值．
∵AE=AF．∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
∵AE⊥BC，∠B=60°，
∴AE=AB•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴EF=$\sqrt{3}$，此时△AEF的面积=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
当AE⊥BC时，△AEF的面积最小，最小面积是$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．