Question

1．如图，已知直线y₁=x+b与双曲线y₂=$\frac{6}{x}$相交于A、B两点，且当x＞1时，总有y₁＞y₂；当0＜x＜1时，总有y₁＜y₂；
（1）求b的值及A、B两点的坐标；
（2）若在y₂=$\frac{6}{x}$（x＞0）上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）判断出点A的横坐标是1，然后利用反比例函数解析式求出点A的坐标，再代入直线解析式计算即可求出b的值，联立两函数解析式，解方程组即可得到点B的坐标；
（2）根据点C到y轴的距离为3得到点C的坐标，构建矩形利用割补法可求三角形面积．

解答 解：（1）∵当x＞1时，y₁＞y₂，当0＜x＜1时，y₁＜y₂，
∴点A的横坐标为1，
又点A在y₂=$\frac{6}{x}$上，
∴点A的坐标为（1，6），
将A（1，6）代入y₁=x+b得：b=5，
由y=x+5与y=$\frac{6}{x}$联立解得（1，6）或（-6，-1），
∵点B在第三象限，
∴点B的坐标为（-6，-1）；
（2）在y=$\frac{6}{x}$中，当x=3时，y=2，
所以△ABC的面积=7×9-$\frac{1}{2}×$9×3-$\frac{1}{2}$×7×7-$\frac{1}{2}$×2×4=21．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，本题难点在于根据函数值的大小判断出点A、B中有一个点的横坐标是1，从而求出交点坐标，这也是解答本题的突破口．