Question

6．如图，四边形ABCD是菱形，点E为AB的中点，延长CD至F，使得DF=$\frac{1}{2}$CD，连接EF分别交AD，AC于点M，N．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）若AB=4，∠ABC=60°，且P为AC上一点（P与点A不重合），连接PB和PE可得△PBE，求△PBE周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）只要证明AM=AE，根据菱形的性质∠CAN=∠CAE，由此即可证明．
（2）如图连接BM交AC于P，连接PE，此时△PEB周长最小．作MK⊥BA交BA的延长线于K，在RT△AMK，RT△KMB中利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DC=BC，AB∥FC
∵AE=EB，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=DF，
∵AE∥DF，
∴∠EAM=∠FDM，
在△AEM和△DFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAM=∠FDM}\\{∠AME=∠DMF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△EAM≌△FDM，
∴AM=DM=AE，
∵∠MAN=∠EAN，
∴AN⊥ME即AC⊥EF．
（2）如图连接BM交AC于P，连接PE，此时△PEB周长最小．作MK⊥BA交BA的延长线于K．
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，
∴AD∥BC，AD=AB=4，
∴∠KAM=∠ABC=60°
在RT△AMK中，∵∠MKA=90°，AM=2，∠KMA=30°，
∴AK=1，KM=$\sqrt{3}$，
在RT△KMB中，∵∠K=90°，KM=$\sqrt{3}$，KB=5，
∴BM=$\sqrt{K{M}^{2}+K{B}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴△PEB周长的最小值=PE+PB+EB=PM+PB+EB=BM+EB=2$\sqrt{7}$+2．

点评 本题考查菱形的性质、轴对称-最短问题、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，利用对称的性质找到使得△PBE周长最小的点P位置，属于中考常考题型．