Question

13．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为24-8$\sqrt{2}$cm．

Answer 1

分析 先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，根据△ABQ∽△ACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax²+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=-$\frac{3}{20}$x²+$\frac{9}{5}$x+24，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标为6+8$\sqrt{2}$，据此可得点E到洗手盆内侧的距离．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，
由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，
∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，
∴BQ=12-8=4，
由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，
∴$\frac{BQ}{CG}$=$\frac{AQ}{AG}$，即$\frac{4}{CG}$=$\frac{12}{36}$，
∴CG=12，OC=12+8=20，
∴C（20，0），
又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），
∴可设抛物线为y=ax²+bx+24，
把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得
$\left\{\begin{array}{l}{24=144a+12b+24}\\{0=400a+20b+24}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{20}}\\{b=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$，
∴抛物线为y=-$\frac{3}{20}$x²+$\frac{9}{5}$x+24，
又∵点E的纵坐标为10.2，
∴令y=10.2，则10.2=-$\frac{3}{20}$x²+$\frac{9}{5}$x+24，
解得x₁=6+8$\sqrt{2}$，x₂=6-8$\sqrt{2}$（舍去），
∴点E的横坐标为6+8$\sqrt{2}$，
又∵ON=30，
∴EH=30-（6+8$\sqrt{2}$）=24-8$\sqrt{2}$．
故答案为：24-8$\sqrt{2}$．

点评 本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．