Question

3．如图1，已知?ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A的坐标为（1，-4），点D的坐标为（-3，4），点B在第四象限，点P是?ABCD边上的一个动点．
（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标．
（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）由题意点P与点C重合，可得点P坐标为（3，4）；
（2）分两种情形①当点P在边AD上时，②当点P在边AB上时，分别列出方程即可解决问题；
（3）分三种情形①如图1中，当点P在线段CD上时．②如图2中，当点P在AB上时．③如图3中，当点P在线段AD上时．分别求解即可；

解答 解：（1）∵CD=6，
∴点P与点C重合，
∴点P坐标为（3，4）．

（2）①当点P在边AD上时，
∵直线AD的解析式为y=-2x-2，
设P（a，-2a-2），且-3≤a≤1，
若点P关于x轴的对称点Q₁（a，2a+2）在直线y=x-1上，
∴2a+2=a-1，
解得a=-3，
此时P（-3，4）．
若点P关于y轴的对称点Q₃（-a，-2a-2）在直线y=x-1上时，
∴-2a-2=-a-1，解得a=-1，此时P（-1，0）
②当点P在边AB上时，设P（a，-4）且1≤a≤7，
若等P关于x轴的对称点Q₂（a，4）在直线y=x-1上，
∴4=a-1，解得a=5，此时P（5，-4），
若点P关于y轴的对称点Q₄（-a，-4）在直线y=x-1上，
∴-4=-a-1，
解得a=3，此时P（3，-4），
综上所述，点P的坐标为（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）．

（3）①如图1中，当点P在线段CD上时，设P（m，4）．

在Rt△PNM′中，∵PM=PM′=6，PN=4，
∴NM′=$\sqrt{M′{P}^{2}-P{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△OGM′中，∵OG²+OM′²=GM′²，
∴2²+（2$\sqrt{5}$+m）²=m²，
解得m=-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴P（-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，4）
根据对称性可知，P（$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，4）也满足条件．
②如图2中，当点P在AB上时，易知四边形PMGM′是正方形，边长为2，此时P（2，-4）．

③如图3中，当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R．易证∠M′RG=∠M′GR，推出M′R=M′G=GM，设M′R=M′G=GM=x．

∵直线AD的解析式为y=-2x-2，
∴R（-1，0），
在Rt△OGM′中，有x²=2²+（x-1）²，解得x=$\frac{5}{2}$，
∴P（-$\frac{5}{2}$，3）．
点P坐标为（2，-4）或（-$\frac{5}{2}$，3）或（-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，4）或（$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，4）．

点评 本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．