Question

1．已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A'．若点A'到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点A'的坐标为（$\sqrt{7}$，3）或（$\sqrt{15}$，1）或（2$\sqrt{3}$，-2）．

Answer 1

分析 由已知得出∠A=90°，BC=OA=4，OB=AC=7，分两种情况：（1）当点A'在矩形AOBC的内部时，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，当A'E：A'F=1：3时，求出A'E=1，A'F=3，由折叠的性质得：OA'=OA=4，∠OA'D=∠A=90°，在Rt△OA'F中，由勾股定理求出OF=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，即可得出答案；
②当A'E：A'F=3：1时，同理得：A'（$\sqrt{15}$，1）；
（2）当点A'在矩形AOBC的外部时，此时点A'在第四象限，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，由A'F：A'E=1：3，则A'F：EF=1：2，求出A'F=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$BC=2，在Rt△OA'F中，由勾股定理求出OF=2$\sqrt{3}$，即可得出答案．

解答 解：∵点A（0，4），B（7，0），C（7，4），
∴BC=OA=4，OB=AC=7，
分两种情况：
（1）当点A'在矩形AOBC的内部时，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图1所示：
①当A'E：A'F=1：3时，
∵A'E+A'F=BC=4，
∴A'E=1，A'F=3，
由折叠的性质得：OA'=OA=4，
在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴A'（$\sqrt{7}$，3）；
②当A'E：A'F=3：1时，同理得：A'（$\sqrt{15}$，1）；

（2）当点A'在矩形AOBC的外部时，此时点A'在第四象限，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图2所示：∵A'F：A'E=1：3，则A'F：EF=1：2，
∴A'F=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$BC=2，
由折叠的性质得：OA'=OA=4，
在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴A'（2$\sqrt{3}$，-2）；
故答案为：（$\sqrt{7}$，3）或（$\sqrt{15}$，1）或（2$\sqrt{3}$，-2）．

点评 本题考查了折叠的性质、矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解决问题的关键．