Question

7．观察下列等式：a₁=n，a₂=1-$\frac{1}{{a}_{{1}_{\;}}}$，a₃=1-$\frac{1}{{a}_{2}}$，a₄=1-$\frac{1}{{a}_{3}}$，…根据其蕴含的规律可得（　　）

• A． a₂₀₁₆=n
• B． a₂₀₁₆=$\frac{n-1}{n}$
• C． a₂₀₁₆=$\frac{1}{n-1}$
• D． a₂₀₁₆=$\frac{1}{1-n}$

Answer 1

分析 根据题意分别用含n的式子表示出a₁、a₂、a₃、a₄，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答．

解答 解：∵a₁=n，
a₂=1-$\frac{1}{{a}_{{1}_{\;}}}$=1-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$，
a₃=1-$\frac{1}{{a}_{2}}$=1-$\frac{n}{n-1}$=-$\frac{1}{n-1}$，
a₄=1-$\frac{1}{{a}_{3}}$=1+n-1=n，
∴这一列数每3个数为一周期，
∵2016÷3=672，
∴a₂₀₁₆=a₃=-$\frac{1}{n-1}$=$\frac{1}{1-n}$，
故选：D．

点评 本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．