Question

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点I是△ABC的内心，CI的延长线交△ABC的外接圆⊙O于点D，则DI的长为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 连接AI，AD，BD，运用圆周角定理、内切圆的性质及三角形外角的性质问题即可求得∠AID=∠DAI，得出DA=DI，△ABD是等腰直角三角形，然后关键勾股定理求得AD，即可求得DI．

解答 解：（1）连接AI，AD，BD；
∵点I是△ABC的内心，
∴∠ACD=∠BCD，∠CAI=∠BAI；
∵∠DAB=∠BCD，
∴∠DAB=∠ACI；
∴∠DAB+∠OAI=∠ACI+∠CAI，
∴∠AID=∠DAI，
∴DA=DI，
∵∠ACB=90°，
∴AB是直径，
∵∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AD=$\sqrt{2}$，
∴DI=$\sqrt{2}$，
故选C．

点评 本题考查了三角形的内心及其性质的应用，圆周角定理的应用，等腰三角形的判定，勾股定理；解题的关键作出辅助线构建等腰三角形和等腰直角三角形．