Question

3．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，2），过点B作直线l∥x轴，点P（a，2）是直线l上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，使∠APQ=Rt∠．
（1）当a=0时，
①点Q的坐标是（2，3）；
②若在y轴上取一点C，使得CA+CQ的值最小，则最小值为3$\sqrt{2}$，点C的坐标为（0，1）．
（2）当a=3时，点Q的坐标是（5，0）．

Answer 1

分析 （1）①证明△BQM≌△ABO，得出BM=AO=1，QM=BO=2，求出OM=3，即可得出结果；
②由最短路径问题求出点A关于y轴的对称点，由勾股定理求出DQ的长，用待定系数法求出直线DQ的解析式，即可得出点C的坐标；
（2）证明三角形全等同（1），即可得出结果．

解答 解：（1）①a=0时，P与B重合，如图1所示：
作QM⊥y轴于M，
∵A（1，0），B（0，2），
∴AO=1，BO=2，
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴∠ABQ=90°，BA=BQ，由角的互余关系得：∠ABO=∠BQM，
在△BQM和△ABO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QMB=∠BOA=90°}&{\;}\\{∠BQM=∠ABO}&{\;}\\{BQ=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BQM≌△ABO（AAS），
∴BM=AO=1，QM=BO=2，
∴OM=3，
∴点Q的坐标是（2，3）；
故答案为：（2，3）；
②作点A关于y轴的对称点D（-1，0），连接DQ交y轴于C，
此时CA=CD，CA+CQ的值最小，CA+CQ=DQ=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即CA+CQ的最小值为3$\sqrt{2}$；
设直线DQ的解析式为y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线DQ的解析式为y=x+1，
当x=0时，y=1，
∴点C的坐标为（0，1）；
故答案为：3$\sqrt{2}$，（0，1）；
（2）如图2所示：作AE⊥BP，QF⊥BP，同（1）①得：△APE≌△PQF，
∴PE=FQ=BP-BE=3-1=2，AE=PF=2，
∴BF=3+2=5，
∴点Q的坐标为（5，0）．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题、轴对称的性质、待定系数法求直线的解析式等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．