Question

16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D=108°，连接AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若∠DAC=45°，DC=8，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质得到∠B=72°，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可；
（2）连接OD、OC，根据圆周角定理得到∠DOC=2∠DAC=90°，根据直角三角形的性质求出OD、OC，根据扇形面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边，∠D=108°，
∴∠B=72°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=18°；
（2）∵连接OD、OC，
∵∠DAC=45°，
∴∠DOC=2∠DAC=90°，
∴OD=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DC=4$\sqrt{2}$，
∴阴影部分的面积=$\frac{90π×（4\sqrt{2}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=8π-16．

点评 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用以及扇形面积的计算，掌握圆内接四边形对角互补、熟记扇形的面积公式是解题的关键．