Question

11．如图，已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，射线AM⊥AC，点P在AC上运动（不与点A，C重合），点Q在AM上运动（不与点A重合），且始终保持PQ=AB．
（1）点P在AC上运动到什么位置时，△ABC和△QPA全等？请说明理由．
（2）在（1）的情况下，猜想PQ与AB有什么位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=5，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC，P、C重合，不合题意；
（2）由全等三角形的性质知∠B=∠QPA，又∠B+∠BAC=90°，可得∠QPA+∠BAC=90°，即∠POA=90°，即可得答案．

解答 解：（1）根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP=BC时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=BC}\\{PQ=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=5；
②当P运动到与C点重合时，AP=AC，不合题意．
综上所述，当点P运动到距离点A为5时，△ABC与△APQ全等；

（2）由（1）知，Rt△ABC≌Rt△QPA，
∴∠B=∠QPA，
又∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠QPA+∠BAC=90°，即∠POA=90°，
∴PQ⊥AB．

点评 本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．