Question

2．已知开口向下的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），其中x₁＜x₂，P为顶点，∠APB=90°，若x₁，x₂是方程x²-2（m-2）+m²-21=0的两个根，且x₁²+x₂²=26．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求抛物线的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）利用根与系数的关系得到x₁+x₂=2（m-2），x₁•x₂=m²-21，再由x₁²+x₂²=26得（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=26，则4（m-2）²-2（m²-21）=26，解得m₁=m₂=4，所以一元二次方程为x²-4x-5=0，解得x₁=-1，x₂=5，于是可得到A，B两点的坐标；
（2）作PH⊥x轴于H，如图，利用抛物线的对称性得△PAB为等腰三角形，而∠APB=90°，所以△PAB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得PH=AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=3，则OH=3-1=2，所以P（2，3），然后利用交点式求抛物线解析式．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是方程x²-2（m-2）+m²-21=0的两个根，
∴x₁+x₂=2（m-2），x₁•x₂=m²-21，
∵x₁²+x₂²=26，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=26，
∴4（m-2）²-2（m²-21）=26，
整理得m²-8m+16=0，解得m₁=m₂=4，
一元二次方程化为x²-4x-5=0，解得x₁=-1，x₂=5，
∴A（-1，0），B（5，0）；
（2）作PH⊥x轴于H，如图，则△PAB为等腰三角形，
∵∠APB=90°，
∴△PAB为等腰直角三角形，
∴PH=AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×（5+1）=3，
∴OH=3-1=2，
∴P（2，3），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），
把P（2，3）代入得a•3•（-3）=3，解得a=-$\frac{1}{3}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{3}$（x+1）（x-5），即y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了根与系数的关系、待定系数法求抛物线解析式和等腰直角三角形的性质．