Question

3．如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴分别相交于点A，B，点C从点O出发沿射线OB方向以每秒1个单位速度运动，同时点D从点B出发沿BA方向以相同的速度向点A运动．当点D到达点A同时停止运动，点C也随之停止．连接CD，过CD的中点E作EF⊥CD交y轴于点F，交x轴于点G，设运动的时间时t秒．
（1）当t＜4时，求BC和AD的长（用含t的代数式表示）；
（2）当t=4时，求线段DG的长；
（3）在点C和点D的运动过程中，
①当直线FG经过△ABO的顶点时，求出t的值；
②在整个运动过程中，求点E的运动路径长（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）当t＜4时，由题意A（3，0），B（0，4），OA=3，OB=4，在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，由OC=BD=t，可得BC=4-t，AD=5-t；
（2）如图1中，当t=4时，点C与B重合，易知E（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$），想办法求出直线EF的解析式即可解决问题；
（3）①分三种情形讨论求解即可．
②如图5中，易知点E的运动轨迹是图中线段HE，H是OA中点，求出点E、H两点坐标，利用两点间距离公式求解即可；

解答 解：（1）当t＜4时，由题意A（3，0），B（0，4），OA=3，OB=4，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵OC=BD=t，
∴BC=4-t，AD=5-t．

（2）如图1中，当t=4时，点C与B重合，易知E（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$），

∵EG⊥AD，
∴直线EG的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+b，把（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$）代入得到b=$\frac{3}{2}$，
∴直线FG的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$，令y=0，得到x=-2，
∴点G坐标为（-2，0）．

（3）①a、如图2中，当直线FG经过点B时，

在Rt△BOC中，OC=t，BO=3，BC=BD=5-t，
∴（5-t）²=t²+3²，
解得t=$\frac{8}{5}$．

b、如图3中，当FG经过点A时，

∵AD=AC，
∴4-t=t，
∴t=2．
C、如图4中，当直线FG经过点O时，

易证OC=OD=AD=BD，
∴t=$\frac{5}{2}$，
综上所述，当直线FG经过△ABO的顶点时，出t的值为$\frac{8}{5}$s或2s或$\frac{5}{2}$s．

②如图5中，易知点E的运动轨迹是图中线段HE，H是OA中点，

由题意E（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），H（0，2），
∴EH=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（2-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查一次函数综合题、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、两点间距离公式、两直线垂直的条件等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．