Question

11．抛物线y=ax²+c与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线上有一动点P
（1）若A（-2，0），C（0，-4）
①求抛物线的解析式；
②在①的情况下，若点P在第四象限运动，点D（0，-2），以BD、BP为邻边作平行四边形BDQP，求平行四边形BDQP面积的取值范围．
（2）若点P在第一象限运动，且a＜0，连接AP、BP分别交y轴于点E、F，则问$\frac{{{S}_{△AOE}+S}_{△BOF}}{{S}_{△ABC}}$是否与a，c有关？若有关，用a，c表示该比值；若无关，求出该比值．

Answer 1

分析 （1）①由A、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；②连接BD、OP，设出P点坐标，利用S_△BDP=S_△ODP+S_△OBP-S_△BOD可用x表示出四边形BDQP的面积，借助x的取值范围，可求得四边形BDQP面积的取值范围；
（2）过点P作PG⊥AB，设A（x₁，0），B（x₂，0），P（x，y），由△AOE∽△AGP、△BGP∽△BOF，利用相似三角形的性质和一元二次方程根与系数的关系可整理得到$\frac{OE+OF}{OC}$=2，再利用三角形的面积可得$\frac{{{S}_{△AOE}+S}_{△BOF}}{{S}_{△ABC}}$的值．

解答 解：
（1）①∵A（-2，0），C（0，-4）在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-4；
②如图1，连接DB、OP，设P（x，x²-4），

∵A（-2，0），对称轴为y轴，
∴B（2，0），
∴S_△BDP=S_△ODP+S_△OBP-S_△BOD=$\frac{1}{2}$OD•|x|+$\frac{1}{2}$OB•|x²-4|-$\frac{1}{2}$OD•OB=x+4-x²-2=-x²+x+2=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵点P在第四象限运动，
∴0＜x＜2，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，S_△BDP有最大值$\frac{9}{4}$，当x=2时，S_△BDP有最小值0，
∴0＜S_△BDP≤$\frac{9}{4}$，
∵四边形BDQC为平行四边形，
∴S_{四边形BDQP}=2S_△BDP，
∴0＜S_{四边形BDQP}≤$\frac{9}{2}$；
（2）如图2，过点P作PG⊥AB，设A（x₁，0），B（x₂，0），P（x，y），

∵PG∥y轴，
∴△AOE∽△AGP，△BGP∽△BOF，
∴$\frac{AO}{AG}$=$\frac{OE}{GP}$，$\frac{BO}{BG}$=$\frac{OF}{GP}$，
∴$\frac{-{x}_{1}}{x-{x}_{1}}$=$\frac{OE}{y}$，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-x}$=$\frac{OF}{y}$，
∴$\frac{OE}{y}$+$\frac{OF}{y}$=$\frac{-{x}_{1}}{x-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-x}$=$\frac{-{x}_{1}（{x}_{2}-x）+{x}_{2}（x-{x}_{1}）}{（x-{x}_{1}）（{x}_{2}-x）}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）x-2{x}_{1}{x}_{2}}{-{x}^{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）x-{x}_{1}{x}_{2}}$，
当y=0时，可得ax²+c=0，
∴x₁+x₂=0，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴$\frac{OE}{y}$+$\frac{OF}{y}$=$\frac{-\frac{2c}{a}}{-{x}^{2}-\frac{c}{a}}$=$\frac{2c}{a{x}^{2}+c}$=$\frac{2c}{y}$，
∴OE+OF=2c，
∴$\frac{OE+OF}{OC}$=$\frac{2c}{c}$=2，
∴$\frac{{{S}_{△AOE}+S}_{△BOF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}OA•OE+\frac{1}{2}OB•OF}{\frac{1}{2}AB•OC}$=$\frac{\frac{1}{2}OB•（OE+OF）}{\frac{1}{2}•2OB•OC}$=$\frac{OE+OF}{2OC}$=1，
∴$\frac{{{S}_{△AOE}+S}_{△BOF}}{{S}_{△ABC}}$的值与a，c无关，比值为1．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、三角形的面积、一元二次方程根与系数的关系、相似三角形的判定和性质、方程思想及转化思想等知识．在（1）②中用x表示出△BDP的面积是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质求得OE+OF=2c是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．