Question

18．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=CD，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=DF=AD，联结DE，联结AF、BF分别与DE交于点G、P．
（1）求证：AB=BF；
（2）如果BE=2EC，求证：DG=GE．

Answer 1

分析 （1）先证△BCF≌△DCE，再证四边形ABED是平行四边形，从而得AB=DE=BF．
（2）延长AF交BC延长线于点M，从而CM=CF，又由AD∥BC可以得到$\frac{DG}{GE}$=$\frac{AD}{EM}$=1，从而DG=GE．

解答 证明：（1）∵BC=CD，BE=DF，
∴CF=CE，
在△BCF与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{∠C=∠C=90°}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△DCE，
∴BF=DE，
∵AD∥BC，BE=AD，
∴四边形ABED是平行四边形；
∴AB=DE，
∴AB=BF．
（2）延长AF交BC延长线于点M，则CM=CF；
∵AD∥BC，
∴$\frac{DG}{GE}$=$\frac{AD}{EM}$，
∵BE=2EC，
∴$\frac{DG}{GE}$=$\frac{AD}{EM}$=1，
∴DG=GE．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△BCF≌△DCE是解题关键．