Question

8．已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有两个实数根x₁，x₂，
（1）求实数k的取值范围．
（2）是否存在实数k使得x₁x₂-x₁²-x₂²=-7成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=（2k+1）²-4（k²+2k）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+2k，再把x₁x₂-x₁²-x₂²=-7变形为-（x₁+x₂）²+3x₁•x₂=-7，所以-（2k+1）²+3（k²+2k）=-7，然后解方程后利用（1）中的范围确定满足条件的k的值．

解答 解：（1）根据题意得△=（2k+1）²-4（k²+2k）≥0，
解得k≤$\frac{1}{4}$；
（2）根据题意得x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+2k，
∵x₁x₂-x₁²-x₂²=-7．
∴x₁x₂-[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]=-7，
即-（x₁+x₂）²+3x₁•x₂=-7
∴-（2k+1）²+3（k²+2k）=-7
整理得k²-2k-6=0，解得k₁=1+$\sqrt{7}$（舍去），k₂=1-$\sqrt{7}$
∴k=1-$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．