Question

16．如图，ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、CD的中点．
①求证：AECF也是平行四边形；
②连接BD，分别交CE、AF于G、H，求证：BG=DH；
③连接CH、AG，则AGCH也是平行四边形吗？

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，证出AE=CF，即可得出四边形AECF也是平行四边形；
（2）由AAS证明△ADH≌△CBG，即可得出结论；
（3）连接CA交BD于O，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，证出OH=OG，即可得出四边形AGCH也是平行四边形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=CF，
∴四边形AECF也是平行四边形；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠CBG，
∵四边形AECF也是平行四边形，
∴∠CGB=∠FHB，
∵∠FHB=∠AHD，
∴∠AHD=∠CGB，
在△ADH和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADH=∠CBG}&{\;}\\{∠AHD=∠CGB}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴ADH≌△CBG（AAS），
∴BG=DH；
（3）解：四边形AGCH也是平行四边形；理由如下：
连接CA交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OH=OG，
∴四边形AGCH也是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．