Question

2．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，点E是AC上一点，且AE=AB，连接BE交BC边上的高AF于点H，延长对角线CA至点G．使AG=CE，连接GH．求证：∠CAD=∠G．

Answer 1

分析 过点A作AK⊥BE交BC于K点，连接AK，EK，HK，根据全等三角形的判定和性质证明即可．

解答 证明：过点A作AK⊥BE交BC于K点，连接AK，EK，HK，

∵AB⊥AC，AE=AB，
∴△ABE是等腰直角三角形，
即∠ABE=∠AEB=45°，
∴∠KAB=∠KAE=∠ABE=∠AEB=45°，
在△KAB与△KAE中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAK=∠EAK}\\{AK=AK}\end{array}\right.$，
∴△KAB≌△KAE（SAS），
∴∠KEB=∠KBE，
∵AF⊥BC，
∴∠FAC=∠FBA，
∵∠KBE=∠FBA-∠ABE=∠FAC-∠KAE，
∴∠KBE=∠KAH，
∴∠KEH=∠KBE=∠KAH，
∴∠HAE=∠KEA，
∴∠HAG=∠KEC，
∵∠KEH=∠KAH，
∴点A，E，K，H四点共圆，
即∠EHK=∠KAE=45°，
∴∠EHK=HEA=45°，
∴HK∥CG，
在△KHE与△HKA中$\left\{\begin{array}{l}{∠HAK=∠HEK}\\{∠AKH=∠EHK}\\{HK=KH}\end{array}\right.$，
∴△KHE≌△HKA（AAS），
∴HA=KE，
在△AHG与△EKC中$\left\{\begin{array}{l}{AG=EC}\\{∠GAH=∠CEK}\\{AH=EK}\end{array}\right.$，
∴△AHG≌△EKC（SAS），
∴∠ACB=∠G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CAD=∠ACB，
∴∠CAD=∠G．

点评 此题主要考查平行四边形的性质和判定以及全等三角形的证明，使学生能够灵活运用平行四边形知识解决有关问题．