Question

8．如图，过正方形ABCD的顶点A作直线l，交边BC于点M，过B、D两点作直线l的垂线，垂足分别为E、F．
（1）试求BE、DF、EF之间的数量关系，并说明你的理由．
（2）若以点A为旋转中心旋转直线l，仍过B，D两点作直线l的垂线，则第（1）题中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，利用“AAS”证明△ABE≌△ADF，则BE=AF，AE=DF，然后利用EF=AE-AF得到DF-BE=EF；
（2）如图2，证明△ABE≌△ADF得到BE=AF，AE=DF，则利用EF=AF-AE得到BE-DF=EF；如图3，同理可得BE+DF=EF．

解答 解：（1）DF-BE=EF．理由如下：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠BAE+∠DAF=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DFA}\\{∠BAE=∠DAF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=AF，AE=DF，
∵EF=AE-AF，
∴DF-BE=EF；
（2）第（1）题中的结论不成立．
如图2，同理可证明△ABE≌△ADF，
∴BE=AF，AE=DF，
∵EF=AF-AE，
∴BE-DF=EF；
如图3，同理可证明△ABE≌△ADF，
∴BE=AF，AE=DF，
∵EF=AF+AE，
∴BE+DF=EF．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．解决此题的关键是证明△ABE≌△ADF得到BE=AF，AE=DF，然后利用不同位置得到BE、DF、EF的关系．