Question

20．已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC，求证：BD+CD＞AB+AC．

Answer 1

分析 在AE上截取AH=AC，连接DH，由AD平分∠CAE，得到一对角相等，利用SAS得到△ADH≌△ACD，利用全等三角形对应边相等得到DC=DH，在三角形BHD中，根据三边关系得到BD+HD＞BH，等量代换即可得证．

解答 证明：在AE上截取AH=AC，连接DH，如图所示：
∵AD平分∠CAE，
∴∠DAH=∠CAD，
在△ADH和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AC}\\{∠DAH=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△ADC（SAS），
∴CD=HD，
在△BHD中，BD+HD＞BH=AB+AH=AB+AC，
∴DC+DB＞AB+AC．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．