Question

19．如图，已知AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，弦DE⊥AB于C，弦EF交线段CB于G，求证：BD平分∠FDG．

Answer 1

分析 连接BD、BE，由垂径定理得出AB垂直平分DE，由线段垂直平分线的性质得出BD=BE，CD=CE，由SSS证明△BDG≌△BEG，得出∠BDG=∠BEG，由圆周角定理得出∠BDF=∠BEF，证出∠BDG=∠BDF即可．

解答 证明：连接BD、BE，如图所示：
∵AB为直径，DE⊥AB，
∴AB垂直平分DE，
∴BD=BE，CD=CE，
在△BDG和△BEG中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=BE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\\{BG=BG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△BEG（SSS），
∴∠BDG=∠BEG，
∵∠BDF=∠BEF，
∴∠BDG=∠BDF，
即：BD平分∠FDG．

点评 本题考查了垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握垂径定理和圆周角定理，证明三角形全等是解决问题的关键．