Question

19．如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=$\frac{1}{2}$BC，连结DE、CF，连接BD交CF于点P．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求△DCE的周长；
（3）在（2）的条件下，求△BPC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC 且 AD=BC，根据三角形的中位线的性质得到DF=$\frac{1}{2}$AD，又∵CE=$\frac{1}{2}$BC，得到DF∥EC，DF=EC，于是推出四边形CEDF为平行四边形；
（2）过D作DH⊥BE于H，根据平行四边形的性质得到∠DCE=60°，求出CD=4，CH=2，DH=2$\sqrt{3}$，由勾股定理得到DE=$\sqrt{13}$，于是求得结果；
（3）过P作PM⊥BC于M，由于PC∥DE，得到△PBC∽△DBE，根据相似三角形的性质得到$\frac{PM}{DH}=\frac{BC}{BE}=\frac{2}{3}$，求得DH=2$\sqrt{3}$，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC 且 AD=BC，
∵F为AC中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$AD，又∵CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DF∥EC，DF=EC
∴四边形CEDF为平行四边形；

（2）过D作DH⊥BE于H，
在平行四边形ABCD中，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCE=60°，
∵AB=4，
∴CD=4，
∴CH=2，DH=2$\sqrt{3}$，
在平行四边形CEDF中，CE=DF=$\frac{1}{2}$AD=3，
∴EH=1，
∴DE=$\sqrt{13}$，
∴△DCE的周长=7+$\sqrt{13}$；

（3）过P作PM⊥BC于M，
∵PC∥DE，
∴△PBC∽△DBE，
∴$\frac{PM}{DH}=\frac{BC}{BE}=\frac{2}{3}$，
∵DH=2$\sqrt{3}$，
∴PM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△BPC=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．