Question

8．如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°．
（1）尺规作图：过点C作CD⊥AC交AB于点D；过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：BC²=BD•AB．

Answer 1

分析 （1）利用过直线上一点作直线的垂线确定D点，再作AD的垂直平分线确定AD的中点O，然后以点O为圆心，OA为半径作⊙O即可；
（2）根据圆周角定理，由∠ACD=90°，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质得到∠DCB=∠A=30°，推出△CDB∽△ACB，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）解：如图；

（2）证明：∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°
∴∠DCB=∠A=30°，
∵∠B=∠B，
∴△CDB∽△ACB，
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{AB}{BC}$；
∴BC²=BD•AB．

点评 本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质．