Question

4．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E，G分别在AD，CD上，沿BE，BG折叠矩形，点A和点C分别落在BD上的点F，H处．
（1）∠EBG=45度，图中有8对相似三角形；
（2）DE=5，DG=$\frac{10}{3}$；
（3）连结EG，求△BEG的面积．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AD=BC，AB=CD，根据折叠的性质得出∠ABE=∠DBE，∠CBG=∠DBG，即可求出答案；根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据勾股定理求出BD，证出△EFD∽△BAD，得出$\frac{8-DE}{6}$=$\frac{DE}{10}$，同理$\frac{6-DG}{8}$=$\frac{DG}{10}$，求出即可；
（3）根据图形得出S_△BEG=S_矩形ABCD-S_△ABE-S_△BCG-S_△CDE，根据面积公式求出即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=CD，
根据折叠的性质得出∠ABE=∠DBE，∠CBG=∠DBG，
∴∠EBG=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
图中的相似三角形有△ABD和△CDB，△EFD和△DAB，△EFD和△DCB，△DHG和△DCB，△DHG和△BAD，△EFD和△DHG，△ABE和△FBE，△GHB和△GCB，共8对，
故答案为：45，8；

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=8，AB=DC=6，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵根据折叠得出AE=EF，∠A=∠BFE=90°，
∴∠EFD=∠A=90°，
∵∠EDF=∠BDA，
∴△EFD∽△BAD，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{DE}{BD}$，
∴$\frac{8-DE}{6}$=$\frac{DE}{10}$，
解得：DE=5，
同理$\frac{6-DG}{8}$=$\frac{DG}{10}$，
解得：DG=$\frac{10}{3}$，
故答案为：5，$\frac{10}{3}$；

（3）如图，∵AB=DC=6，DG=$\frac{10}{3}$，DE=5，AD=BC=8，
∴AE=8-5=3，CG=6-$\frac{10}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，
∴S_△BEG=S_矩形ABCD-S_△ABE-S_△BCG-S_△CDE
=6×8-$\frac{1}{2}$×6×3-$\frac{1}{2}$×8×$\frac{8}{3}$-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{10}{3}$
=18，
即△BEG的面积是18．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．