Question

【题目】阅读理解题：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，我们来进行以下的探索：

设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法，请仿照上述方法探索并解决下列问题：

（1）当a，b，m，n都为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　 　，b＝　 　．

（2）若a﹣4＝（m﹣n）2且a，m，n都为正整数，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）m2+5n2，2mn （2）21或9

【解析】

（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+5n2+2mn，而a，b，m，n都是正整数，则利用无理数和有理数的意义得到a＝m2+5n2，b＝2mn；

（2）利用（1）的方法得到﹣2mn＝﹣4，a＝m2+5n2，再利用m，n都为正整数得到m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，然后计算对应的a的值即可．

解：（1）（m+n）2＝m2+5n2+2mn，

∴a＝m2+5n2，b＝2mn；

故答案为m2+5n2，b＝2mn；

（2）∵a﹣4＝（m﹣n）2，

∴a﹣4＝m2+5n2﹣2mn，

∴﹣2mn＝﹣4，a＝m2+5n2，

∵a，m，n都为正整数，

而mn＝2，

∴当m＝1时，n＝2，此时a＝12+5×22＝21；

当m＝2时，n＝1，此时a＝22+5×12＝9；

综上所述，a的值为21或9．