Question

1．已知关于x的方程x²-（2a-1）x+4（a-1）=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积．

Answer 1

分析 设关于x的方程x²-（2a-1）x+4（a-1）=0的两个根为m和n，根据根与系数的关系得到m+n=2a-1，mn=4（a-1），再利用勾股定理得到m²+n²=5²，则（m+n）²-2ab=25，所以（2a-1）²-8（a-1）=25，解得a₁=4，a₂=-1，利用m和n都是正数可确定a=4，然后根据三角形面积公式计算$\frac{1}{2}$mn即可．

解答 解：设关于x的方程x²-（2a-1）x+4（a-1）=0的两个根为m和n，
则m+n=2a-1，mn=4（a-1），
∵m²+n²=5²，
∴（m+n）²-2ab=25，
∴（2a-1）²-8（a-1）=25，解得a₁=4，a₂=-1，
∵m+n=2a-1＞0，mn=4（a-1）＞0，
∴a=4，
∴mn=4×（4-1）=12，
∴这个直角三角形的面积=$\frac{1}{2}$mn=6．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了勾股定理．