Question

11．用两根长度均为a的铁丝分别围成的一个长方形和一个正方形，设长方形长为x．
（1）若长方形的长宽比为3：2，求长方形的面积；
（2）求证：长方形的面积不大于正方形的面积．

Answer 1

分析 （1）用x和a表示出长方形的宽，根据题意列出方程，求出x，根据长方形的面积公式求出长方形的面积；
（2）根据长方形的面积公式表示出长方形的面积，运用配方法把代数式化为完全平方式与一个正数的和的形式，根据偶次方的非负性求出最大值，与正方形的面积进行比较即可．

解答 解：（1）∵长方形长为x，则宽为$\frac{1}{2}$×（a-2x），
由题意得，x：$\frac{1}{2}$×（a-2x）=3：2，
解得，x=$\frac{3}{10}$a，
则$\frac{1}{2}$×（a-2x）=$\frac{1}{5}$a，
长方形的面积为$\frac{3}{10}$a×$\frac{1}{5}$a=$\frac{3}{50}$a²；
（2）长方形的面积为x×$\frac{1}{2}$×（a-2x）=-x²+$\frac{1}{2}$ax=-（x-$\frac{a}{4}$）²+$\frac{{a}^{2}}{16}$，
∴长方形的面积的最大值是$\frac{{a}^{2}}{16}$，
正方形的面积为（$\frac{a}{4}$）²=$\frac{{a}^{2}}{16}$，
∴长方形的面积不大于正方形的面积．

点评 本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，正确运用配方法把代数式化为完全平方的形式是解题的关键．