Question

11．如图①-③所示，在△ABC中，BD平分∠ABC．
（1）如图①，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，求证：BD垂直平分EF．
（2）如图②，当有一点G从D点向B点运动时，GE⊥AB于E，GF⊥BC于F，此时（1）中的结论是否成立？请证明；
（3）如图③，当G点沿BD方向从D点沿BD延长线运动时，GE⊥AB于E，GF⊥BC（或其延长线）于F，此时（1）中的结论是否成立，不需证明．

Answer 1

分析 （1）由已知，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，易证△BDF≌△BDE，可证BF=BE，从而可推出△BEF为等腰三角形，利用三线合一得出结论即可；
（2）类比（1）的方法证得△BGF≌△BGE，得出BF=BE，推出△BEF为等腰三角形，利用三线合一得出结论即可；
（3）类比（1）（2）证得△BGF≌△BGE，得出BF=BE，推出△BEF为等腰三角形，利用三线合一得出结论即可．

解答 证明：（1）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
在△BDF和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BDF，
∴BE=BF，
∴BD⊥EF，且平分EF，
即BD垂直平分EF．
（2）BD垂直平分EF．
∵BD是∠ABC的平分线，GE⊥AB于E，GF⊥BC于F，
∴GE=GF，
在△BGF和△BGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{GF=GE}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△BGE≌△BGE，
∴BE=BF，
∴BD⊥EF，且平分EF，
即BD垂直平分EF．
（3）此时（1）中的结论仍然成立．
BD垂直平分EF．
∵BD是∠ABC的平分线，GE⊥AB于E，GF⊥BC于F，
∴GE=GF，
在△BGF和△BGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{GF=GE}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△BGE≌△BGE，
∴BE=BF，
∴BD⊥EF，且平分EF，
即BD垂直平分EF．

点评 此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，利用三线合一是解决问题的关键．