Question

18．阅读下面的材料：
小明遇到一个问题：如图1，在?ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．如果$\frac{AF}{EF}$=3，求$\frac{CD}{CG}$的值．他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，那么可以得到△BAF∽△HEF．请回答：
（1）AB和EH之间的数量关系是AB=3EH，CG和EH之间的数量关系是CG=2EH，$\frac{CD}{CG}$的值为$\frac{3}{2}$．
（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图2，在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F．如果$\frac{AB}{CD}$=2，$\frac{BC}{BE}=\frac{2}{3}$，求$\frac{AF}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根据EH∥AB，$\frac{AF}{EF}$=3得出AB=3EH，再根据四边形ABCD是平行四边形，点E是边BC的中点得出CG=2EH=2x，再求出$\frac{CD}{CG}$=$\frac{3}{2}$即可；
（2）过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，根据EH∥CD，得出CD=$\frac{2}{3}$EH，根据AB=2CD=$\frac{4}{3}$EH，得出$\frac{AB}{EH}$=$\frac{4}{3}$，最后根据EH∥AB得出$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AB}{EH}$即可求出答案．

解答 解：（1）如图1，
∵EH∥AB，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AB}{EH}$=3，
∴AB=3EH，
设EH=x，则AB=3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3x，AB∥CD，
∴HE∥CD，
∵点E是边BC的中点，
∴CG=2EH=2x，
∴$\frac{CD}{CG}$=$\frac{3x}{2x}$=$\frac{3}{2}$，
故答案为：AB=3EH，CG=2EH，$\frac{3}{2}$；
（2）如图2，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H．
∵AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴$\frac{CD}{EH}=\frac{BC}{BE}=\frac{2}{3}$，
∴CD=$\frac{2}{3}$EH，
∵$\frac{AB}{CD}$=2，
∴AB=2CD=$\frac{4}{3}$EH，
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{4}{3}$，
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF．
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AB}{EH}$=$\frac{4}{3}$．

点评 此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，关键是根据题意作出辅助线，构造相似三角形，注意知识的综合运用和比例式的变形．