Question

9．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC为对角线．将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连结DC′．
（1）求证：△ADC≌△ADC′．
（2）求在旋转过程中线段CD扫过图形的面积．（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）如图，首先运用旋转变换的性质证明AC=AC′，∠CAD=∠C′AD，进而运用SAS公理证明△CAD≌△C′AD；
（2）如图，作辅助线，求出线段AC的长度，此为解决问题的关键性结论；判断出λ=S_扇形CAC′S_扇形DAD′，此为解决问题的另一关键性结论，运用扇形的面积公式即可解决问题．

解答 解：（1）如图，由题意得：AC=AC′，∠CAC′=60°，
∵∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠CAC′，
∴∠CAD=∠CAB=∠C′AD；
在△CAD与△C′AD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=C′A}\\{∠CAD=∠C′AD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△C′AD（SAS）．
（2）如图，连接BD，交AC于点E；
设在旋转过程中线段CD扫过图形的面积为λ；
∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，
∴∠DAE=30°，DE⊥AE，AE=CE；
∴AE=AD•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2AE=4$\sqrt{3}$；
∵△CAD≌△C′AD，
∴λ=S_扇形CAC′-S_扇形DAD′
=$\frac{60π×（4\sqrt{3}）^{2}}{360}-\frac{60π×{4}^{2}}{360}$
=$\frac{16}{3}π$．

点评 该题以菱形为载体，在考查菱形性质的同时，还考查了全等三角形的判定、扇形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定、扇形的面积公式等几何知识点来分析、判断、推理或解答．