Question

11．如图，边长为a的菱形ABCD的顶点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，A、C两点的坐标分别为（0，4）和（2，0）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接BD，交y轴于点P，求tan∠DBC的值和OP的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是菱形，可求得BC=AD=a，又由A、C两点的坐标分别为（0，4）和（2，0），可得OB=a-2，OA=4，然后由在Rt△ABO中，OB²+OA²=AB²，求得a的值，继而求得点D的坐标，即可求得答案；
（2）首先过点E作DE⊥x轴于点E，即可求得DE与BE的长，继而求得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AD=a，
∵A、C两点的坐标分别为（0，4）和（2，0），
∴OB=a-2，OA=4，
在Rt△ABO中，OB²+OA²=AB²，
∴（a-2）²+4²=a²，
解得：a=5，
∴AD=5，
∴点D的坐标为：（5，4），
∴k=xy=5×4=20，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{20}{x}$；

（2）过点E作DE⊥x轴于点E，
则DE=4，OE=5，OB=a-2=3，
∴BE=OB+OE=5-2+5=8，
在Rt△DBE中，tan∠DBC=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$；
在Rt△BOP中，OP=OB•tan∠DBC=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 此题考查了菱形的性质、反比例函数的性质、勾股定理以及三角函数等知识．注意求得a的值是解此题的关键．