Question

3．如图，?ABCD中，AB＞AD，∠A与∠D的平分线交于点E，∠B与∠C的平分线交于点F，连接EF．请证明：EF=AB-BC．

Answer 1

分析 易得∠AMD=∠ABF，故EM∥BF，由ASA证明△ADE≌△CBF，得出DE═BF．因此EM=BF，证出四边形EFBM是平行四边形，得出EF=BM，即可得出结论．

解答 证明：延长DE交AB于M，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD∥AB，∠ADC=∠ABC，∴∠ADC+∠BAD=180°，∠CDM=∠AME，
∵AE、DE分别平分∠DAB和∠ADC
∴AE⊥DM，AE平分∠DAB．
∴ED=EM，∴AM=AD=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
∵BF平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF，∠ADE=∠AMD=∠ABF=∠CBF，
∴EM∥BF，
在△ADE和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CBF}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\\{∠DAE=∠BCF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE=BF．∴EM=BF，
∴四边形EFBM是平行四边形．
∴EF=MB，
∵BM=AB-AM=AB-BC，
∴EF=AB-BC．

点评 本题考查的是平行四边形的性质，要求学生在平行四边形中利用角平分线的性质或分解出线线间的关系并比较大小．