Question

19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC，交BC于点E，∠BDE=15°，求∠COD与∠COE的度数．

Answer 1

分析 由“四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC”知∠CDE=∠CED=45°，又∠BDE=15°，所以∠CDO=60°，由矩形的特征“对角线相等且互相平分”可知OD=OC，故△OCD是等边三角形，从而有OC=OD=CD，得出∠COD=∠DCO=60°，∠OCB=30°，证出OC=CE，进而求得∠COE=75°．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠CED=45°；
∴EC=DC，
又∵∠BDE=15°，
∴∠CDO=60°；
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD=OC；
∴△OCD是等边三角形；
∴∠COD=60°，OC=CD，∠OCB=90°-∠DCO=30°；
∵DE平分∠ADC，∠ECD=90°，
∠CDE=∠CED=45°，
∴CD=CE=CO，
∴∠COE=∠CEO；
∴∠COE=（180°-30°）÷2=75°．

点评 本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键．