Question

按要求分别写出以x为未知数的一元二次方程：①两根分别为2+

5

，2-

5

：

 

；②二次项系数不为1，且两根互为倒数：

 

；③有一根为0：

 

；④有两个相等的实数根：

 

；⑤有一根为-1：

 

；⑥无实数根：

 

．

Answer 1

考点：根与系数的关系,一元二次方程的解,根的判别式

专题：

分析：①设此一元二次方程为x²+px+q=0，由二次项系数为1，两根分别为2+

5

，2-

5

，根据根与系数的关系可得p=-（2+

5

+2-

5

）=-4，q=（2+

5

）（2-

5

）=-1，即可得到满足题意的一个方程；
②因为方程有两根，所以△≥0；由于两根互为倒数，所以两根之积等于1，即二次项系数等于常数项．只要满足上述条件的方程即为所求；
③设方程的两根是0和1，因而方程是x（x-1）=0即x²-x=0，本题答案不唯一；
④一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于0．答案不唯一；
⑤有一个根是-1的一元二次方程有无数个，只要含有因式x+1的一元二次方程都有一个根是-1；
⑥写出一个一元二次方程，然后确定根的判别式的值小于0即可．

解答：解：①设此一元二次方程为x²+px+q=0，
∵二次项系数为1，两根分别为2+

5

，2-

5

，
∴p=-（2+

5

+2-

5

）=-4，q=（2+

5

）（2-

5

）=-1，
∴这个方程为：x²+4x-1=0（答案不唯一）；

（2）∵两根互为倒数，
∴两根之积等于1，即二次项系数等于常数项．
又∵方程有两根，
∴△≥0．
设方程为ax²+bx+a=0，且b²-4a²≥0．
∴满足条件的方程可写为2x²+5x+2=0（答案不唯一）；

③设方程的另一根为1，
则根据因式分解法可得方程为x（x-1）=0，
即x²-x=0（答案不唯一）；

④∵一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴b²-4ac=0，
符合条件的一元二次方程可以为x²+2x+1=0（答案不唯一）；

⑤形如（x+1）（ax+b）=0（a≠0）的一元二次方程都有一个根是-1，
当a=1，b=0时，可以写出一个一元二次方程：x²+x=0（答案不唯一）；

⑥对于方程x²-x+3=0，
∵△=1²-4×1×3=-12＜0，
∴x²-x+3=0无实数根．
∴符合条件的一元二次方程可以为x²-x+3=0（答案不唯一）．
故答案为x²+4x-1=0；2x²+5x+2=0；x²-x=0；x²+2x+1=0；x²+x=0；x²-x+3=0．

点评：此题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的根即方程的解的定义，用到的知识点：
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac的关系为：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，反过来也成立，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂．
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．