Question

20．如图，BD为矩形ABCD的对角线，AE⊥BD，垂足为E，tan∠BAE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BE=1，点P、Q分别在BD、AD上，连接AP、PQ，则AP+PQ的最小值为3．

Answer 1

分析 设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案．

解答 解：
∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，tan∠BAE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BE=1，
∴AB=2，AE=$\sqrt{3}$，
∵tan∠BAE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAE=30°，
∴∠EAD=60°，
∵AE=$\sqrt{3}$，
∴DE=3，
如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，
则A′A=2AE=2$\sqrt{3}$，AD=A′D=2$\sqrt{3}$，
∴△AA′D是等边三角形，
∵PA=PA′，
∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，
又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，
∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．