Question

5．如图，半径为2的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是（　　）

• A． 18$\sqrt{3}$-6π
• B． 4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π
• C． 9$\sqrt{3}$-$\frac{9}{2}$π
• D． 2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π

Answer 1

分析 连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC=MC=1，继而求出∠AOC=60°、AB=2AC=2$\sqrt{3}$，然后根据S_弓形ABM=S_扇形OAB-S_△AOB、S_阴影=S_半圆-2S_弓形ABM计算可得答案．

解答 解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，

由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1，
在RT△AOC中，∵OA=2，OC=1，
∴cos∠AOC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$，AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$
∴∠AOC=60°，AB=2AC=2$\sqrt{3}$，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
则S_弓形ABM=S_扇形OAB-S_△AOB
=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1
=$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S_阴影=S_半圆-2S_弓形ABM
=$\frac{1}{2}$π×2²-2（$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
=2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$．
故选D．

点评 本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．