Question

9．如图，点A（2，n）在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，点B在第二象限，∠AOB=90°，∠OBA=30°，在小组合作学习中，四位同学发现并提出了以下四个结论，其中正确的有（　　）个．
聪聪：在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上任取一个点P，作两坐标轴的垂线，则它们与两坐标轴围成的四边形面积为3；
明明：若直线OA的函数解析式为y=kx，则不等式$\frac{3}{x}$＞kx的解集为0＜x＜2；
智智：过点B的反比例函数的解析式为y=-$\frac{3\sqrt{3}}{x}$；
慧慧：若点D（2+$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}-2\sqrt{3}$），则以点A，O，B，D为顶点的四边形是一个中心对称图形．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由反比例函数系数k的几何意义可知聪聪的话正确；由反比例函数的对称性可找出直线OA与反比例函数的另一个交点坐标，结合函数图象可得出不等式$\frac{3}{x}$＞kx的解集，从而判断出明明的话不正确；由点A在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，可求出n的值，从而得出A点的坐标，设点B的坐标为（x，y），结合给定的边角关系可找出关于x、y的二元二次方程组，结合点B的位置可得出点B的坐标，利用待定系数法即可求出过点B的反比例函数的解析式为y=-$\frac{9}{x}$，由此得出智智的话不正确；由A、O、B、D的坐标特征，可得出DA⊥OA，即OB∥DA，结合两点间的距离公式得出OB=DA，由此判断出以点A，O，B，D为顶点的四边形是平行四边形，即慧慧的话正确．综上即可得出结论．

解答 解：∵在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，
∴聪聪的话正确；
∵点A（2，n），反比例函数的对称性可知：
在第三象限直线OA与反比例函数y=$\frac{3}{x}$有另一个交点（-2，-n），
结合函数图象可知：不等式$\frac{3}{x}$＞kx的解集为x＜-2，或0＜x＜2，
∴明明的话不正确；
∵点A（2，n）在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，
∴n=$\frac{3}{2}$，即点A的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）．
设点B的坐标为（x，y），过点B的反比例函数解析式为y=$\frac{m}{x}$，
则OA=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，OB=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{OA}{cot∠OBA}$=$\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
结合已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}•\frac{3}{4}=-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{75}{4}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴点B的坐标为（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，2$\sqrt{3}$）．
∵点B在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{m}{-\frac{3\sqrt{3}}{2}}$，解得：m=-9．
∴过点B的反比例函数的解析式为y=-$\frac{9}{x}$，
∴智智的话不正确；
∵$\frac{\frac{3}{2}-（\frac{3}{2}-2\sqrt{3}）}{2-（2+\frac{3}{2}\sqrt{3}）}$=-$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{3}$×$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=-1，
∴DA⊥OA，
∴AD∥BO．
∵AD=$\sqrt{（2+\frac{3}{2}\sqrt{3}-2）^{2}+（\frac{3}{2}-2\sqrt{3}-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{3}$=OB，
∴以点A，O，B，D为顶点的四边形为平行四边形，
∴以点A，O，B，D为顶点的四边形是一个中心对称图形，
即慧慧的话正确．
综上可知：聪聪和慧慧的话正确．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数解析式、两直线垂直的性质、两点间的距离公式以及平行四边形的判定定理，解题的关键是根据给定条件逐条分析四种说法．本题属于中档题，难度不大，但非常繁琐，尤其在断定智智慧慧的话时，结合了多项知识点才得出结论，因此在日常的练习中，应加强知识间联系的练习．