Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=10x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$交于点A，点A的横坐标为$\frac{1}{2}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上有一点B，过点B作BC∥x轴，过点A作AC⊥BC，垂足为点C．
（1）求k的值；
（2）已知点B在AC的右侧，若△ABC的面积为4，求直线AB的解析式．

Answer 1

分析 （1）把x=$\frac{1}{2}$时代入y=10x求得A（$\frac{1}{2}$，5），把A（$\frac{1}{2}$，5）代入y=$\frac{k}{x}$即可得到结论；
（2）根据反比例函数的解析式为y=$\frac{5}{2x}$ 设B（a，$\frac{5}{2a}$），根据已知条件得到BC=a-$\frac{1}{2}$，AC=5-$\frac{5}{2a}$，由△ABC的面积为4列方程得到B（$\frac{5}{2}$，1），根据待定系数法即可得到结论．

解答 解：（1）当x=$\frac{1}{2}$时，y=10x=5，
∴A（$\frac{1}{2}$，5），
把A（$\frac{1}{2}$，5）代入y=$\frac{k}{x}$得；k=$\frac{5}{2}$；

（2）∵k=$\frac{5}{2}$，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{5}{2x}$，
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上有一点B，
∴设B（a，$\frac{5}{2a}$），
∵BC∥x轴，过点A作AC⊥BC，
∴BC=a-$\frac{1}{2}$，AC=5-$\frac{5}{2a}$，
∵△ABC的面积为4，
∴$\frac{1}{2}$（a-$\frac{1}{2}$）（5-$\frac{5}{2a}$）=4，
∴a=$\frac{5}{2}$，a=$\frac{1}{10}$（不合题意，舍去），
∴B（$\frac{5}{2}$，1），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}k+b=5}\\{\frac{5}{2}k+b=1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-2x+6．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与x轴的交点，以及待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．