Question

19．如图：已知点A、B是反比例函数y=-$\frac{6}{x}$上在第二象限内的分支上的两个点，点C（0，3），且△ABC满足AC=BC，∠ACB=90°，则线段AB的长为2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，根据角的计算得出“∠ACD=∠CBE，∠BCE=∠CAD”，由此证出△ACD≌△CBE；再设点B的坐标为（m，-$\frac{6}{m}$），由三角形全等找出点A的坐标，将点A的坐标代入到反比例函数解析式中求出m的值，将m的值代入B点坐标即可得出点B的坐标，结合等腰直角三角形的性质以及两点间的距离公式即可得出结论．

解答 解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，如图所示．

∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，∠BCE=∠CAD．
在△ACD和△CBE中，由$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE}\\{AC=CB}\\{∠ACD=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（ASA）．
设点B的坐标为（m，-$\frac{6}{m}$）（m＜0），则E（0，-$\frac{6}{m}$），点D（0，3-m），点A（-$\frac{6}{m}$-3，3-m），
∵点A（-$\frac{6}{m}$-3，3-m）在反比例函数y=-$\frac{6}{x}$上，
∴3-m=-$\frac{6}{-\frac{6}{m}-3}$，解得：m=-3，m=2（舍去）．
∴点B的坐标为（-3，2），
∴AB=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$$\sqrt{（-3-0）^{2}+（2-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了反比例函数的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是求出点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出反比例函数图象上一点的坐标，根据边角关系表示出来另一点的坐标，再结合点在反比例函数图象上得出点的坐标，最后由两点间的距离公式求出线段的长度即可．