Question

14．如图，AB是圆O的一条直径，弦CD垂直于AB，垂足为点G、E是劣弧BD上一点，点E处的切线与CD的延长线交于点P，连接AE，交CD于点F．
（1）求证：PE=PF
（2）已知AG=4，AF=5，EF=25，求圆O的直径．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OE，根据切线的性质得出∠PEO=90°，求出∠PEF=∠PFE，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）如图2，连接BE，根据相似三角形的判定得出△AGF∽△AEB，得出比例式，代入求出即可．

解答 （1）证明：如图1，连接OE，

∵EP是⊙O的切线，
∴∠PEO=90°，
∴∠OEA+∠PEF=90°，
∵AB⊥CD，
∴∠AGF=90°，
∴∠A+∠AFG=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠PEF=∠AFG，
∵∠EFP=∠AFG，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF；

（2）解：如图2，连接BE，

∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠AGF=90°，
∴∠AGF=∠AEB，
∵∠A=∠A，
∴△AGF∽△AEB，
∴$\frac{AG}{AE}$=$\frac{AF}{AB}$，
∵AG=4，AF=5，EF=25，
∴$\frac{4}{5+25}$=$\frac{5}{AB}$，
∴AB=$\frac{75}{2}$，
即圆O的直径为$\frac{75}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．