Question

5．已知：AD，BC是⊙O的两条互相垂直的弦，垂足为E，H是弦BC的中点，AO是∠DAB的平分线，半径OA交弦CB于点M．

（1）如图1，延长OH交AB于点N，求证：∠ONB=2∠AON；
（2）如图2，若点M是OA的中点，求证：AD=4OH；
（3）如图3，延长HO交⊙O于点F，连接BF，若CO的延长线交BF于点G，CG⊥BF，CH=$\sqrt{3}$，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）根据OH是BC的中点，即可证明OH⊥BC，并且AD⊥BC，则ON∥AD，根据角平线的性质以及角平分线的定义即可证得；
（2）过点O作OP⊥AD，可证四边形OHEP是矩形，证明△OHM≌△AEM，则OH=AE=$\frac{1}{2}$AP，然后根据垂径定理即可证得；
（3）延长FN交⊙O于点K，连接BK，首先求得∠CBK的度数，然后在直角△OCH中，利用三角函数求得半径的长．

解答 （1）证明：如图1，H是弦BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠DEB=90°
∴∠OHB=∠DEB，
∴OH∥AD，
∴∠DAO=∠AOH，
∵∠DAO=∠OAN，
∴∠OAN=∠NOA，
∴∠ONB=∠NAO+∠NOA=2∠AON
∴∠ONB=2∠AON； 
（2）证明：如图2，过点O作OP⊥AD，可证四边形OHEP是矩形，
则OH=EP，
∵点M是OA的中点，
在△OHM和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMH=∠AME}\\{OM=AM}\\{∠OHM=∠AEM}\end{array}\right.$，
∴△OHM≌△AEM，
∴OH=AE，
∴EP=AE，
即：AP=2AE=2OH
∵OP⊥AD，
∴AD=2AP，
∴AD=2AP=2×2OH=4OH
∴AD=4OH；
（3）解：如图3，延长FN交⊙O于点K，连接BK，
∵FK是⊙O的直径，
∴∠KBF=90°．
∵CG⊥BF，
∴∠CGF=90°
∴CG∥BK，
∴∠CON=∠OKB．
又∵∠COK=2∠CBK，
∴∠OKB=2∠CBK，
在Rt△HKB中，∠CBK+∠OKB=90°，
∴∠CBK=30°，
∴∠COK=2∠CBK=60°．
在Rt△OCH中，OC=$\frac{CH}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴⊙O的半径为2．

点评 考查了圆的综合题，本题是垂径定理以及全等三角形的判定与性质的综合应用，正确求得∠CBK的度数是解决本题的关键．