Question

13．在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=8．
（1）如图1，若AB⊥AC，BD=12，点P是线段AD上的动点（不包含端点A，D），过点P作PE⊥AC，垂足为点E，PF⊥BD，垂足为点F，设PE=x，PF=y，求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）如图2，若AE平分∠BAC，点F为BC中点，且点F保持在点E的右边，求线段BC的变化范围．

Answer 1

分析 （1）如图1，由平行四边形的性质易得BO=DO=6，AO=CO=4，BC=AD，利用勾股定理可得AB的长，BC，AD的长，由三角形的面积公式可得，S_△AOD=S_△POA+S_△POD=2x+3y=$4\sqrt{5}$，S_△AOD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×8$=4$\sqrt{5}$，得x，y的关系式；
（2）法一：如图2，由AE平分∠BAC，点F为BC中点，可得BF=CF，利用角平分线的性质易得ET=EG，AT=AG，由勾股定理可得，BT²=BE²-TE²，GC²=EC²-GE²=EC²-TE²，由点F保持在E的右边，且BF=CF，易得BT＜GC，可得BT+AT＜GC+AG，即AB＜AC，由三角形三边关系可得BC的取值范围；法二：如图3，连接FO，过点F作FH∥AE，交AC于H，由平行线的性质和角平分线的性质可得，∠BAE=∠FHO，由中位线的性质可得2FO=AB，∠FOC=2∠FHO，由外角的性质可得∠FOC=∠FHO+∠HFO，易得HO=FO，可得0＜FO＜4，由三角形三边关系可得AC-AB＜BC＜AB+AC，设FO=x，则AB=2x，且0＜x＜4，结合图象，如图4，可得BC的取值范围．

解答 解：（1）如图1，在平行四边形ABCD中，AC=8，BD=12，
∴BO=DO=6，AO=CO=4，BC=AD，
又∵AB⊥AC，
∴Rt△ABO中，AB²=6²-4²=20，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
Rt△ABC中，BC²=AB²+AC²=84，
∴BC=2$\sqrt{21}$=AD，
∵点P是线段AD上的动点（不包含端点A，D），
PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，PE=x，
PF=y，连接OP，
S_△POA=$\frac{1}{2}×OA×PE$=2x，
S_△POD=$\frac{1}{2}×OD×PF$=3y，
S_△AOD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×8$=4$\sqrt{5}$，
S_△AOD=S_△POA+S_△POD=2x+3y=$4\sqrt{5}$，
∴y=$\frac{4\sqrt{5}-2x}{3}$，（0＜x＜2$\sqrt{5}$）；

（2）法一（几何法）：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=8，
∵点F为BC中点，则BF=CF，
∵AE平分∠BAC，则∠BAE=∠CAE，
过点E作ET⊥AB，EG⊥AC，则ET=EG，AT=AG，
Rt△BTE中，BT²=BE²-TE²，
Rt△EGC中，GC²=EC²-GE²=EC²-TE²，
∵点F保持在E的右边，且BF=CF，
∴BE＜EC，
∴BT²＜GC²，
∴BT＜GC，
∴BT+AT＜GC+AG，即AB＜AC，即0＜AB＜8，
△ABC中，AC-AB＜BC＜AB+AC，
即0＜BC＜16；         
法二（代数法）：在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=8，
如图3，连接FO，过点F作FH∥AE，交AC于H，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
又∵FH∥AE，
∴∠FHO=∠CAE，
又∵点F为BC中点，BF=CF，AO=CO=4，
∴2FO=AB，FO∥AB，
∴∠FOC=∠BAC，
∴∠FOC=2∠FHO，
又∵∠FOC=∠FHO+∠HFO，
∴∠FHO=∠HFO，
∴HO=FO，
又∵HO＜AO，
∴2FO＜2AO，且0＜FO＜4，
∴AB＜AC，
∴△ABC中，AC-AB＜BC＜AB+AC，
设FO=x，则AB=2x，且0＜x＜4，
∵AC=8，
∴8-2x＜BC＜8+2x          
令y₁=8-2x，y₂=8+2x，（0＜x＜4），
画出图象，如图4，可知0＜BC＜16．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的性质，三角形三边关系，勾股定理等，利用三角形的面积公式和三角形的三边关系是解答此题的关键．