Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交于点A、B，与y轴负半轴交于点C，且方程ax²+bx+c=0的两根是-1和3．在下面结论中：
①abc＞0；②a+b+c＜0；③c+3a=0；④若点M（

2

，m）在此抛物线上，则m小于c．正确的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①∵方程ax²+bx+c=0的两根是-1和3，
∴图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，
∴对称轴x=-

b

2a

=1，
∵抛物线的开口方向向上，
∴a＞0，
∴b＜0
∵抛物线交于y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0．故选项正确；
②∵对称轴x=1，
∴由图象可知当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．故选项正确；
③∵对称轴x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a，
∴二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）图象于x的一个交点为（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，
即3a+c=0，故选项正确；
④∵对称轴x=1，
∴C（0，c）与对称轴的距离为1，
∵点M（

2

，m），
∴

2

-1＜1，
∴M与对称轴的距离小于1，
∵抛物线的开口方向向上，
∴m小于c．故选项正确；
故选D．

点评：考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax²+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-

b

2a

判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）b²-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：
①2个交点，b²-4ac＞0；②1个交点，b²-4ac=0；③没有交点，b²-4ac＜0．