Question

1．如图，直线y=$\sqrt{3}$x-6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=4$\sqrt{3}$，则k的值为（　　）

• A． -3
• B． -4
• C． -5
• D． -6

Answer 1

分析 过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，然后求出OA与OB的长度，即可求出∠OAB的正弦值与余弦值，再设M（x，y），从而可表示出BD与AC的长度，根据AC•BD=4$\sqrt{3}$列出即可求出k的值．

解答 解：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
令x=0代入y=$\sqrt{3}$x-6，
∴y=-6，
∴B（0，-6），
∴OB=6，
令y=0代入y=$\sqrt{3}$x-6，
∴x=2$\sqrt{3}$，
∴（2$\sqrt{3}$，0），
∴OA=2$\sqrt{3}$，
∴勾股定理可知：AB=4$\sqrt{3}$，
∴sin∠OAB=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos∠OAB=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{1}{2}$
设M（x，y），
∴CF=-y，ED=x，
∴sin∠OAB=$\frac{CF}{AC}$，
∴AC=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$y，
∵cos∠OAB=cos∠EDB=$\frac{ED}{BD}$，
∴BD=2x，
∵AC•BD=4$\sqrt{3}$，
∴-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$y×2x=4$\sqrt{3}$，
∴xy=-3，
∵M在反比例函数的图象上，
∴k=xy=-3，
故选（A）

点评 本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据∠OAB的锐角三角函数值求出BD、AC，本题属于中等题型．