Question

16．如图，在矩形ABCD中，点E为AB中点，连接EC，点P是点B关于直线EC的对称点，连结AP并延长交CD于点F，给出下列结论：①AF∥EC；②PE=DF；③若△PBC是等边三角形，则EC=AB；④若AB=30，BC=20，则AP=17．其中正确的结论有①②③．（把所有正确结论的序号都填上）．

Answer 1

分析 ①根据三角形内角和为180°易证∠PAB+∠PBA=90°，即可解题；
②易证四边形AECF是平行四边形，即可解题；
③只需证明△PCE≌△PBA即可；
④易证△BEG∽△BCE，即可求得EG的长度，再根据EG是△ABP的中位线即可解题．

解答 解：如图，EC，BP交于点G；

①∵点P是点B关于直线EC的对称点，
∴EC垂直平分BP，
∴EP=EB，
∴∠EBP=∠EPB，
∵点E为AB中点，
∴AE=EB，
∴AE=EP，
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，
∴AP⊥BP，
∴AF∥EC；①正确；
②∵AF∥EC，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CF=AE，
∵AE=PE，∴PE=DF；②正确；
③∵△PBC是等边三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC，
∴∠PBA=30°，
∵EC垂直平分BP，
∴△BCE≌△PCE，
∴∠PCE=30°，∠EPC=∠EBC=90°，
∵在△PCE和△PBA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PBA=∠PCE=30°}\\{PB=PC}\\{∠APB=∠EPC=90°}\end{array}\right.$，
∴△PCE≌△PBA，
∴EC=AB；③正确；
④∵点E为AB中点，AB=30，BC=20，
∴AE=BE=15，EC=$\sqrt{{EB}^{2}{+BC}^{2}}$=25，
∵EC垂直平分BP，
∴△BEG∽△BCE，
∴$\frac{EG}{EB}$=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{3}{5}$，∴EG=9；
∵EC∥AF，点E为AB中点，
∴EG是△ABP的中位线，
∴AP=2EG=18，④错误；
故答案为 ①②③．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边比例相等的性质，本题中找出相似三角形是解题的关键．