Question

如图，AC是⊙O的直径，AP是切线，点B是⊙O上一点，PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：∠P=2∠BAC．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）易证连接OP，则可以证明△OAP≌△OBP，即可证明∠OBP=∠OAP=90°，据此即可证得；
（2）首先证明∠BAC=∠APO，据此即可证得．

解答：证明：（1）连接OP．
在△OAP和△OBP中，

OA=OB OP=OP PA=PB

，
∴△OAP≌△OBP（SSS）．                     
∴∠OBP=∠OAP，∠APO=∠BPO．       
∵AP是切线，
∴∠OAP=90°．
∴∠OBP=90°．
∴PB是⊙O的切线                       

（2）∵∠APO=∠BPO，PA=PB，
∴OP⊥AB．                            
∵∠APO+∠BAP=90°，
∠BAC+∠BAP=90°，
∴∠APO=∠BAC．                     
∴∠P=2∠APO=2∠BAC．

点评：本题考查了切线的性质可判定，证明切线，若所证的直线经过圆上的点，只要证明这点和圆心的连线于直线垂直即可．