题目内容
已知：O为直线AB上的一点，OC⊥OE于点O，射线OF平分∠AOE．
（1）如图1，判断∠COF和∠BOE之间的数量关系？并说明理由；
（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试问（1）中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明，若发生变化，请你说明理由；
（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并加以证明．
（1）如图1，判断∠COF和∠BOE之间的数量关系？并说明理由；
（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试问（1）中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明，若发生变化，请你说明理由；
（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并加以证明．
考点：垂线,角平分线的定义
专题：
分析：（1）根据垂直定义可得∠COE=90°，再根据角的和差关系可得∠BOE=90°-∠AOC，∠COF=
-∠AOC=
，进而得到∠BOE=2∠COF；
（2）不发生变化，根据角平分线的性质可得∠EOF=2∠AOE，再根据角的和差关系可得∠COF=90°-∠EOF，∠BOE=180°-2∠EOF，进而可得答案；
（3）首先表示出∠COF=90°+∠EOF，再表示∠BOE=90°+∠BOC=90°+90°-2∠EOF=180°-2∠EOF，进而得到∠BOE+2∠COF=360°．
| 90°+∠AOC |
| 2 |
| 90°-∠AOC |
| 2 |
（2）不发生变化，根据角平分线的性质可得∠EOF=2∠AOE，再根据角的和差关系可得∠COF=90°-∠EOF，∠BOE=180°-2∠EOF，进而可得答案；
（3）首先表示出∠COF=90°+∠EOF，再表示∠BOE=90°+∠BOC=90°+90°-2∠EOF=180°-2∠EOF，进而得到∠BOE+2∠COF=360°．
解答：解：（1）∵OC⊥OE，
∴∠COE=90°，
∴∠BOE=90°-∠AOC，∠COF=
-∠AOC=
．
∴∠BOE=2∠COF．
（2）不发生变化．证明如下：
∵射线OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF，
∵∠COE=90°，
∴∠COF=90°-∠EOF，∠BOE=180°-2∠EOF=2（90°-∠EOF）．
∴∠BOE=2∠COF．
（3）∠BOE+2∠COF=360°．
理由：∵射线OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF，
∵∠COE=90°，
∴∠COF=90°+∠EOF，
∴2∠COF=180°+2∠EOF
∠BOE=90°+∠BOC=90°+90°-2∠EOF=180°-2∠EOF．
∴∠BOE+2∠COF=360°．
解：（1）∵OC⊥OE，∴∠COE=90°，
∴∠BOE=90°-∠AOC，∠COF=
| 90°+∠AOC |
| 2 |
| 90°-∠AOC |
| 2 |
∴∠BOE=2∠COF．
（2）不发生变化．证明如下：
∵射线OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF，
∵∠COE=90°，
∴∠COF=90°-∠EOF，∠BOE=180°-2∠EOF=2（90°-∠EOF）．
∴∠BOE=2∠COF．
（3）∠BOE+2∠COF=360°．
理由：∵射线OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF，
∵∠COE=90°，
∴∠COF=90°+∠EOF，
∴2∠COF=180°+2∠EOF
∠BOE=90°+∠BOC=90°+90°-2∠EOF=180°-2∠EOF．
∴∠BOE+2∠COF=360°．
点评：此题主要考查了角平分线的性质，以及角的计算，关键是理清角之间的关系．
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