Question

【阅读材料】
    完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，这是分类加法计数原理；完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法，这就是分步乘法计数原理．
【问题探究】
    完成沿图1的街道从A点出发向B点行进这件事（规定必须向北走，或向东走），会有多少种不同的走法？
（1）根据材料中的原理，从A点到M点的走法共有（1+1）=2种．从A点到C点的走法：
①从A点先到N点再到C点有1种；
②从A点先到M点再到C点有2种，所以共有（1+2）=3种走法．依次下去，请求出从A点出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图2的空圆中，并回答从A点出发到B点的走法共有多少种？
（2）运用适当的原理和方法，算出如果直接从C点出发到达B点，共有多少种走法？请仿照图2画图说明．
【问题深入】
（3）在以上探究的问题中，现由于交叉点C道路施工，禁止通行，求从A点出发能顺了到达BB点的走法数？说明你的理由．

Answer 1

考点：加法原理与乘法原理

专题：

分析：（1）根据完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，则到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和．从而计算出从A点到达其余各交叉点的走法数；
（2）仿照（1），画出图，使用分类加法计数原理，算出从C点到B点的走法为6种；
（3）此题有两种计算方法：方法一是先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它；方法二是删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法．

解答：解：（1）∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走，
∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，
故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1．
答：从A点到B点的走法共有35种．


（2）如图3，使用分类加法计数原理，算出从C点到B点的走法为6种；

（3）方法一：可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数．
完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点，
使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；
见图3，从C点到B点的走法为6种，
再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种．
∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35-18=17种．

方法二：如图4：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数，
∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35-18=17种．

点评：此题考查了加法原理与乘法原理．此题难度较大，理解题意，能利用题意中的方法进行计算是解此题的关键，注意利用画图的方法求解比较简单．