Question

16．已知直角坐标平面内有A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）、D（1，4）四点．
（1）证明：∠ACB=∠ABD；
（2）作DH⊥x轴于点H，在直线DH上找点P，使得△CDP与△ABC相似，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）作DE⊥OC于E，根据图形与坐标的关系、勾股定理求出图中线段的长度，证明△AOC∽△DCB，得到∠ACO=∠CBD，证明结论；
（2）分△CDP∽△ABC和△PDC∽△ABC，根据相似三角形的性质定理得到成比例线段，代入计算求出PH的长即可．

解答 （1）证明：作DE⊥OC于E，
由题意得OA=1，OB=OC=3，CE=DE=1，
由勾股定理得AC=$\sqrt{10}$，BC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
∠OCB=∠OBC=45°，∠ECD=∠EDC=45°，
∴∠DCB=90°，
$\frac{OA}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{OC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{OA}{CD}$=$\frac{OC}{BC}$，
又∵∠AOC=∠DCB=90°，
∴△AOC∽△DCB，
∴∠ACO=∠CBD，
∴∠ACO+45°=∠CBD+45°，
即∠ACB=∠ABD；
（2）当△CDP∽△ABC时，
$\frac{CD}{AB}$=$\frac{DP}{BC}$，即$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{DP}{3\sqrt{2}}$，
解得DP=$\frac{3}{2}$，
则PH=$\frac{5}{2}$，
∴点P的坐标为（1，$\frac{5}{2}$）；
当△PDC∽△ABC时，
$\frac{PD}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$，即$\frac{PD}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
解得PD=$\frac{4}{3}$，
则PH=$\frac{8}{3}$，
∴点P的坐标为（1，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查的是相似三角形的知识的综合运用，掌握三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．